問題点
クラシックエディタでの投稿記事の保存、公開が不可となっている。因みにメディアライブラリにもアクセスできない。
クラシックエディタプラグインを無効にしてブロックエディタでの投稿記事の保存、公開は問題なく出来る。
REST API エラーが原因との説もあり、たしかにダッシュボード > サイトヘルス画面上で「REST API でエラーが発生しました」「サイトへでループバックリクエストが完了できませんでした」等の問題がアナウンスされているものの、投稿記事が保存できない、公開できない、メディアライブラリにアクセスできない問題には直接的には関係なかった。

WordPress バージョン 6.7.1 に対して、クラシックエディタ 1.6 であれば問題は起きないが、クラシックエディタ 1.6.7 だと問題が生じる。
プラグインの自動更新を有効化していたためクラシックエディタが 1.6.7 に更新されてしまい、WordPress バージョン 6.7.1 上で不具合が生じた模様。
結局のところ原因は WordPressバージョンとクラシックエディタのバージョンとの相性問題と決定づけた。

ここで複数の解決方法が浮上する。

１．クラシックエディタが WordPress の最新バージョンに対応するまで待つ
２．クラシックエディタ 1.6 を入手して入れ替える（WordPress 6.7.1 上で問題なく動作する）
３．WordPress のバージョンを WP Downgrade プラグイン等を使ってダウングレードする（6.6.2 にダウングレードしたらクラシックエディタ 1.6.7 でも正常に更新できるようになった）
４．クラシックエディタを諦めブロックエディタを利用する

クラシックエディタの自動更新を無効化してバージョン 1.6 固定で使用するのが賢明だとは思うが、WordPress 6.7.1 から更にアップグレードされても問題が起きない保証はない。
そもそもブロックエディタありきで WordPress の開発は進められており、クラシックエディタがどこまで 定期的に更新される WordPress に追従できるか分からない。
更新されるたびにクラシックエディタとの相性を気にしながら対策するのも気が滅入る。

クラシックエディタ 1.6.7 のまま使いたいなら WordPress のバージョンを 6.6.2 にダウングレードして更新を無効にする必要があり、そうしないと WordPress のバージョンがアップグレードされてしまえば再び不具合が生じてしまう。
WordPressの自動更新を無効にする
wp-config.php に下記を追記

define( 'WP_AUTO_UPDATE_CORE', false );