問題点
クラシックエディタでの投稿記事の保存、公開が不可となっている。因みにメディアライブラリにもアクセスできない。
クラシックエディタプラグインを無効にしてブロックエディタでの投稿記事の保存、公開は問題なく出来る。
REST API エラーが原因との説もあり、たしかにダッシュボード > サイトヘルス画面上で「REST API でエラーが発生しました」「サイトへでループバックリクエストが完了できませんでした」等の問題がアナウンスされているものの、投稿記事が保存できない、公開できない、メディアライブラリにアクセスできない問題には直接的には関係なかった。

結局のところ原因は WordPressバージョンとクラシックエディタのバージョンとの不適合にあった。

WordPress バージョン 6.7.1 に対して、クラシックエディタ 1.6 であれば問題は起きないので、クラシックエディタのバージョンを 1.6 固定にして対処する。
この場合、クラシックエディタプラグインの自動更新を無効にしておく必要がある。さもなければクラシックエディタのバージョンが 1.6.7 に更新されてしまい再び不具合が生じてしまう。

WordPress のバージョンを WP Downgrade プラグイン等を使ってダウングレードする方法もあるが（6.6.2 にダウングレードしたらクラシックエディタ 1.6.7 でも正常に更新できるようになった）、WordPress のバージョンを 6.6.2 に固定して wp-config.php に下記を追記して WordPress の自動更新を無効にする必要がある。

define( 'WP_AUTO_UPDATE_CORE', false );

当初はこの方法を取って問題が解消されていたが、何らかのタイミングで再び公開エラーが出るようになった。

現状においてはクラシックエディタの自動更新を無効化してバージョン 1.6 固定で使用するのが賢明だとは思うが、WordPress が 6.7.1 から更にバージョンアップされても問題が起きない保証はどこにもない。

そもそもブロックエディタありきで WordPress の開発は進められており、クラシックエディタがどこまで 定期的に更新される WordPress に追従できるか分からない。
WordPress のバージョンが更新されるたびにクラシックエディタとの相性を気にしながら対策するのも気が滅入る。